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地平線までの距離 

先月書いた“強風によるレンズ雲”で気になったこと。
地平線までの距離を計算してみる。

その前に地球の半径を計算しよう。
え?調べないのかって?ま、大まかなところならメートル法の歴史を紐解けば計算ででますぜ。
90802c.jpg
1791年、フランスで世界共通の尺度を決めることになった。革命後であり、その国だけでなく世界中に使ってもらうには世界共通の基準を使うのがよかろうということで、地球を基準とすることになった。
北極点から赤道までの距離を測り、これの1000万分の1を1メートルと決めたのだ。wikipediaによればメートル原器まで完成したのは1799年のことだったそうだ。

つまりその結果、北極から赤道までの長さは1000万メートル=1万キロメートルである。一周で考えるとその4倍だから4万キロメートルだ。

さて、これで地球一周の長さがわかった。これの直径は円周率3.14で割ってやる。そして半径を知りたいので、直径を2で割ってみる。

地球の半径=40,000km÷3.14÷2
 =6,369.427km
90802d.jpg 90802f.jpg

ここで三角形の関係を確認しておこう。
中学生になると三平方の定理(ピタゴラスの定理)というのを習うのだが、覚えてしまえば大したことはない。

直角三角形の各辺をおのおの2回かける。これは正四角形の面積だ。この四角形を角が接するように並べると直角三角形となる。この中の大きな四角形の面積は、他の2つの四角形の面積を足したものに等しいという関係である。
90802e.jpg
さて、三平方の定理という三角形の関係を覚えたところで、実際に地平線までの距離を計算しよう。
地球の半径は、6,369.427kmである。
ここで君たちの身長を、1.5mとしよう。
すると君たちの身長と地球の半径を足したものは、
6,369.427km+0.0015km=6,369.4285kmである。
ま、身長を目の高さとして、地球は丸いので見える先はおのずと決まる。視線を下げて地球の表面に視線が接するところが地平線だ。

地平線までの視線と地球の中心までの線とは直角であるから、上述の三平方の定理が使える。
今わかっているのは、地球の半径と半径+身長の2つの辺の長さだ。知りたいのはもうひとつの辺の長さ、つまりは地平線までの距離。一番長い編は身長を加えた辺だから、

6,369.4285kmx6,369.4285km=6,369.427kmx6,369.427km+地平線までの長さx地平線までの長さ
40,569,600.31=40,569,619.42+地平線までの長さx地平線までの長さ
地平線までの長さx地平線までの長さ=40,569,600.31-40,569,619.42
地平線までの長さx地平線までの長さ=19.10828326
同じ数を掛けて、19.10828326になる数字を筆算では計算できないから、電卓のルート(平方根)で計算すると、

地平線までの長さ=4.371302238km

身長1.5m(視線の高さ)なら、概ね4.4km先が地平線だ。意外と近いよね。

ちなみに背が高くなると遠くまで見えるようになる。もちろん建物の屋上とか山の上からだともっと遠くが地平線になるのだ。

もっともこれは概算であることに注意。
メートルが定められた18世紀とかならこれでいいのだが、現代ではもっと正確に地球の距離が測れるようになった。半径は北極と南極を結ぶ線では半径6,356.752km。赤道は遠心力の影響もあってもう少し長い。

円周率も桁数が多いので、3.1415くらい使った方がいいのかな。ま、そこまで正確に計算しても百メートル単位程度しか使わなければ、あまり神経質にならなくてもいいだろう。

同じ計算を極半径を使っても答えは、
4.366950682kmだ。先の答えと4メートル程度しか違わない。精度というのは、使う範囲で決めていいのだから、あまり細かくする必要もないのだ。

地球の一周を、光の速度で7周半と憶えているならば、1秒間で光が到達する距離30万kmを7.5で割ってもいいだろう。一周4万キロだから。

ま、それはともかくとして、地平線は歩いて1時間くらいのところにあることが計算で明らかになったが、本当かどうか確認するのもいいだろうね。どうやろうかな。

また雲までの距離も知りたいと思う今日この頃。みなさんはどうでしょうかね。

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