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天灯の設計 

やはり天灯はやってみたい。とはいえ、火を空に放つという意味では危険なので、とりあえずは机上の計算だけしてみる。

空気の重さは調べればわかるが、まずは計算で求める。

空気は、窒素約80%と酸素約20%でできているとする。
窒素の原子量は14であり、分子量は原子2つでできているので28だ。
酸素の原子量は16であり、分子量は窒素と同様に原子2つでできているので32だ。

分子も原子も6.02×1023個集めると原子量や分子量に“g”(グラム)をつけた重さ(質量)になるから、この個数分を集めると窒素28gと酸素32gとなる。

6.02×1023個という数をいちいち表現するのはめんどうなので、この数量を基準とした単位としてモル(mol)というのがあるので以後これを使う。

さて、今、窒素と酸素の1molの時の質量はわかったが、気体は体積で考えた方がわかりやすい。
ちなみに0℃、1気圧の時の1molの気体の体積は、22.4ℓだ(もっとも理想気体、つまり計算上の話だが)。ここで0℃、1気圧の状態を標準状態という。

22.4ℓの空気の重さを計算すると、22.4ℓ中つまり1molのうち、80%は窒素、20%は酸素である。

窒素 28[g] x 0.8[mol] = 22.4[g]
酸素 32[g] x 0.2[mol] = 6.4[g]
よって空気1mol(22.4ℓ)の質量は、22.4+6.4=28.8[g]

22.4ℓでは扱いにくいので1m3の時の質量を計算すると、
1m3は1000ℓなので22.4ℓの
1000/22.4≒44.643倍
となる。よって1m3の時の空気の質量は
28.8[g] x 44.643≒1286[g]である。

実際の空気は、1293[g/m3]であるから、ほぼ正しいとみてよいだろう。
ただしこれは標準状態の時の乾燥空気の質量であって、実際は湿度つまり水分が含まれているのでもっと重たい。ま、ここでは厳密な計算は必要ないと思われるのでせっかくだから1286gでやっていこう。

ここで天灯に使う風船の容積を考える。
写真や動画でみると風船の大きさは概ね、高さ90cmで幅は縦横60cmくらいと思われる。
この場合の容積は、
0.9 x 0.6 x 0.6 =0.324[m3]
標準状態の時、この容積に入っている空気1[m3]の 質量は、
1286[g/m3] x 0.324≒416.7[g]

理想気体は1℃気温が上がるごとに1/273の比率で体積が増える。つまり空気密度が変わってしまうのだ。まさか0℃の寒い時にやるわけにもいかないので、気温20℃くらいで空に放ちたいものだ。

標準状態の理想気体1m3が20℃の時にどれくらい体積が大きくなるかというと
1[m3]+1[m3] x 20/273≒1.073[m3]
よって20℃の時の空気密度は
1286[g] / 1.073[m3]≒1199[g/m3]

この風船20℃の空気の質量は
1199[g/m3] x 0.324[m3]≒388[g]

天灯は中の炎で空気を暖めて浮力を得ている。仮に暖まった空気の気温が60℃とするとどれくらいの重さのものを持ち上げることができるだろうか。

空気60℃の時の空気密度は
1[m3]+1[m3] x 60/273≒1.220[m3]
1286[g] / 1.220[m3]≒1054[g/m3]
風船の容積での空気の質量は
1054[g/m3] x 0.324[m3]≒341[g]

20℃の時と60℃の時の風船容積内の空気の質量差は
388-341=47[g]

つまり風船と燃料の重さが47gより軽ければ、温度差40℃で空へと飛んでいくことができることになる。実際は内部の空気温度がいくらなのかわからないが、風船全体の重さのイメージがつかめそうだ。

1℃あたりの密度変化を求めた方が面倒でなかったか。
3.625[g/m3/℃]
風船容積(0.324m3)では1℃あたりの変化で質量は、1.1745g増減する。

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