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最速降下線問題 

高氏より組曲「微分積分」という動画(元はニコニコ動画のもの)を知らされてから、耳についている上にひとつの事実を理解できないでいる。



この動画の7分40秒(-3分08秒)くらいのところに「最速降下線」というのがでてくる。
力学では「最速降下線問題(最速降下曲線)」とか呼ばれています。

最速降下線問題
「鉛直面に与えられた2点間を曲線で結び,その曲線に沿って質点を滑り落とす。最も短い時間で滑り落ちる曲線を求めよ」
以上の問題では次のことを前提にする。
1)摩擦は考えない
2)空気抵抗を考えない
3)外力は重力のみとする

この答えは次の「最速降下問題について」のサイトをみると、解き方も書いてあります。


経路の短い直線の滑り台よりも、サイクロイド曲線状の滑り台の方が移動時間が短いという事実。

距離は速さに時間をかければ(積分すれば)いいが、この場合は鉛直方向と水平方向の距離は一定だけれど描く曲線の距離は何パターンもあって、さらにその中で最短の時間の経路を計算しなければならない。それも鉛直方向が一定ということは位置エネルギーも一定ということで、あたりまえだがエネルギー保存則も前提となる。

いろいろなサイトを読むと、結論と計算方法(もっとも積分なんて忘れた上に、変分法なんて習ってない)はわかるのだがなんでこうなるのか理解できない。

この世の物理法則では「最小作用の原理」というのがあって、自然は作用を最小にしようとする(エネルギー的に無駄な動きをしない)原理があるらしい。その結果(物理法則ってどっちが結果かわからんが)、サイクロイド曲線を描く滑り台でモノを滑らせると最下点まで最速で滑り落とすことができることになるらしいが、何か狐につつまれているようだ。

ちなみに上記サイトにもあるが、この曲線で描いた滑り台はどこからモノを滑らせても最下点までの所要時間は同じなのだ。うむむむむ。

今日もずっと考えていそう。これで脳内アドレナリンの分泌が激しいのか、眠気すっきり。体調はやや復調中。

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