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運動エネルギーの公式の意味 その2 

運動エネルギーの公式になんで1/2なんてでてくるかという話の続き

運動エネルギーの公式は

W=(1/2)mv2

意味するところは…

運動エネルギー=(1/2)x質量x速度の2乗

なぜそうなるのだろう。
運動エネルギーはwikipedia“運動エネルギー”によれば「運動している物体を停止させるために必要なエネルギー」のこと。
ある一定速度で近づく物体を受け止めて停止させることと同じだ。この時に停止させるために物体に一定の力を加えるが、通常はすぐに止まらず徐々に速度を緩めながら止まるだろう。ブレーキをかけて徐々に速度を落とすような感じだ。この時、ブレーキをかけてから止まるまでに少し進んでしまう。


つまり運動エネルギーは物体を止めるために力をかけつつ、止まるまでの距離を含んでいると考えられる。すると…

運動エネルギー=力x停止するまでの移動距離

ということだろう。

さて、力とはなんだろうという疑問もわいてくる。移動距離はメートルでもセンチでもいいわけだが、力って何よ?

力とは学校で習ったけれど忘れていたけれど、F=maという公式がある。これは…

力=質量x加速度

の意味だ。なるほど、質量はkgでもgでも表せる親しみのあるものだが、加速度となると今ひとつ馴染みがないな。とりあえず、ここまでを運動エネルギーの公式の解読に使うと…

運動エネルギー=(1/2)x質量x速度の2乗
    =力x停止するまでの移動距離
    =質量x加速度x停止するまでの移動距離


ということになるだろう。あれ?1/2が消えている。驚いたことに速度まで消えてしまっているぞ!(この驚きが真正かどうかはみなさんのご判断にお任せ)
と、いうことは、力もしくは停止するまでの移動距離のどちらかに含まれていると考えられないだろうか。

匝的には加速度が気になるな。加速度とは「速度の変化率」ということらしいが、いまひとつピントこない。でも消えてしまった速度は加速度に含まれている予感。

「速度の変化率」とは、たとえば今の速度10m/sから5秒後の速度15m/sを比較して、1秒あたりどれくらい速く(または遅く)なったかということのようだ。

加速度=(測り終えた速度-最初の速度)/測った時間=(15-10)/5=5/5=1m/s2
つまり1秒間に1m/sずつ速くなったという考え方なんだね。
単位がkm/s2となっているのは、上の例で言うと…
速度(m/s)/時間(s)=(m/s)/s 距離を時間で2回割っているからまとめて、m/(sxs)=m/s2

ややこしくなるので加速度は加速度として意味だけ知っておくことにする。

さてこのままでは…

運動エネルギー=質量x加速度x停止するまでの移動距離

までしかわからない。すると停止するまでの移動距離が怪しい。さらに考えてみた。
動いている物体を一定の力で減速させ止めるまでの距離だったわけだ。その距離をどうやって計算するのだ?

段々遅くなるので減速度…この場合も加速度か、加速度が絡んでいると考えられる。これが一定速度だと…

速度=距離/時間から、距離=速度x時間で求まる。

なんとなく加速度から速度がわかればいいような気がする。うん、そうに決まっている!
一定の力で止めるということは一定の加速度で止めるということと同じだ。加速度は…

加速度=速度/時間なので速度を求めるには、速度=加速度x時間ということだ。

ということで速度がわかれば距離はすぐに求まるじゃん。

距離=速度x時間=(加速度x時間)x時間

しかーし、これは大間違いだぞ。単純に速度に時間を掛けたら一定速度で移動し続けてしまうことと同じではないか?今回は段々と止まっていくのだ。速度は100%から0%になるのだ。つまり同じ時間かけて、走り続ける場合とゆるゆると一定の加速度で減速して止まる場合とを比較するとどうなるんだろう。わからない時は絵に描いてみる。移動距離は速度x時間なので、図でいうと面積にあたる。

80302.jpg

うーん、どうやら同じ時間だと一定速度で移動している距離と比べて半分になっているようだ。

よって1/2を掛けてやることにする。大丈夫。高校での速度、加速度の勉強を再確認してみたから(おいおい)。公式通りだ。

むずかしく考えると加速度は微小時間の速度の変化率で、これを定積分つまりすべての微小速度を積算することで距離を求めるんだと。

距離=(1/2)x加速度x時間2

さて今までのところで運動エネルギーの式を整理しよう。

運動エネルギー=質量x加速度x停止するまでの移動距離
     =質量x加速度x(1/2)x加速度x時間2
     =(1/2)x質量x加速度x(加速度x時間2


なんとも速度が消えたままでかわりに時間が残っている。加速度なんかわかりにくいので、どうにか速度を出したいよな。

加速度は速度/時間だったから、これを変形して…

時間=速度/加速度としてみる。時間をこの式に変えてみると…

運動エネルギー=(1/2)x質量x加速度x(加速度x時間2
    =(1/2)x質量x加速度x(加速度x(速度/加速度)2
    =(1/2)x質量x加速度2x(速度x速度/加速度x加速度)
    =(1/2)x質量x加速度2x速度2/加速度2


よくみると加速度2が分子分母にいるではないか。よって…

    =(1/2)x質量x速度2x(加速度2/加速度2
    =(1/2)x質量x速度2


かっこよく記号だけにすると質量はmで、速度はvとするので

    =(1/2)mv2

おぉお、できたー!!
つまるところ1/2は減速中の移動距離の計算過程ででてくるもんだったわけだ。

もう一度、過程を整理すると…

運動エネルギー=力x停止するまでの移動距離
    =(質量x加速度)x停止するまでの移動距離
    =(質量x加速度)x((1/2)x加速度x時間x時間)
    =(質量x加速度)x((1/2)x加速度x(速度/加速度)x(速度/加速度))
    =(1/2)x(質量x加速度x加速度x速度x速度)/(加速度x加速度)
    =(1/2)x質量x速度x速度
    ∴(1/2)mv2


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コメント

あれあれ!
紐解くのは
おもしろいね~
食ブログから離脱してない??
あと ポタ?は??

ポタは行きたいんすよ。でも花粉でしょう…。桜が散るまで我慢の子。

昨日は匝父と雛へ行きました。活車えび4本で840円。プリプリで旨かった。それから小振りながらもハタハタの塩焼き8匹420円。多すぎです。やわらかく脂ものっていて、頭から骨までむしゃぶりました。

出張、気をつけて。いってらっしゃいませッ!帰ったら一杯やりやしょう!!

すごい!

中2ですが、すごく役に立ちました!

わかりやすかったです!!!

Re: すごい!

ありがとう。みなさん、疑問に思うみたいですし私もそうです。これからも興味を持って勉強していると少し楽しいかも。

実際には一定の加速度で減速するわけではなく・・・

微分を使うと簡単です

Re: タイトルなし

> 実際には一定の加速度で減速するわけではなく・・・
>
> 微分を使うと簡単です

はい。微積分を使えばいいのでしょうが、それなら参考書などみれば載っていると思います。
数学が苦手、でも科学は好きっていう人や小学生でもわかるように公式にどういう意味があるのかを書きたかったのです。暗記はしたけれど、これに意味あるのッて思う人は多いと思うんですよね。

教えて下さい

自転車の衝突時のエネルギーについて教えて下さい。
歩行停止して立っている人間に体重47キロの人間が乗った車重23キロの自転車がブレーキを掛けることなく時速20キロで衝突しました。この際立っている人間は後方1メートルにあった電信柱
にぶつかり停止しました。自転車は倒れて4メートル先まですべり停止しました。このような状況で人間に加えられた運動エネルギーの強さはどのような強さで表されるのでしょうか?
どうか教えて下さい。宜しくお願い致します。

Re: 教えて下さい

> 自転車の衝突時のエネルギーについて教えて下さい。
> 歩行停止して立っている人間に体重47キロの人間が乗った車重23キロの自転車がブレーキを掛けることなく時速20キロで衝突しました。この際立っている人間は後方1メートルにあった電信柱
> にぶつかり停止しました。自転車は倒れて4メートル先まですべり停止しました。このような状況で人間に加えられた運動エネルギーの強さはどのような強さで表されるのでしょうか?
> どうか教えて下さい。宜しくお願い致します。

これは衝撃力の問題ですね。人体は2度衝撃を受け、その各々の衝突時間が不明なので力積が計算できないのできません。また人体は剛体ではないですし、自転車がすべるにしてもすべった地面の摩擦の問題もあって複雑な上にデータ不足です。

いずれにせよ、計算の基本は運動エネルギーではなく衝撃力になります。


ありがとうございます

学校の授業よりわかりやすかったです。
物理、難しいけど、頑張ります。

Re: ありがとうございます

理解のお役に立てたようでブログにアップしてよかったです。
勉強、好奇心を持って楽しく学べますように(^^)/

> 学校の授業よりわかりやすかったです。
> 物理、難しいけど、頑張ります。

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